Question

【題目】（1）問題發現：如圖1，在等腰直角三角形中，，將邊繞點順時針旋轉90°得到線段，連接，則的面積為__________；（請用含的式子表示的面積；提示：過點作邊上的高）

（2）類比探究：如圖2，在一般的中，，將邊繞點順時針旋轉90°得到線段，連接．（1）中的結論是否成立，若成立，請說明理由．

（3）拓展應用：如圖3，在等腰三角形中，，將邊繞點順時針旋轉90°得到線段，連接．試直接用含的式子表示的面積．（不寫探究過程）

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立，理由見解析；（3）

【解析】

(1)如圖1，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a進而由三角形的面積公式得出結論；
(2)如圖2，過點D作BC的垂線，與BC的延長線交于點E，由垂直的性質就可以得出△ABC≌△BDE，就有.DE=BC=a進而由三角形的面積公式得出結論；
(3)如圖3，過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，由等腰三角形的性質可以得出BF= BC，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結論．

解：（1）如圖1，

過點D作DE⊥CB交CB的延長線于E，
∴∠BED=∠ACB=90°，
由旋轉知，AB=BD，∠ABD=90°，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE(AAS)
∴BC=DE=a．
∵S△BCD= BCDE =
故答案為

（2）（1）中結論仍然成立，

理由：如圖，

過點作邊上的高，

在中，∵，

由旋轉可知：，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

（3）.

如圖3，

過點A作AF⊥BC與F，過點D作DE⊥BC的延長線于點E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a.
∴∠FAB+∠ABF=90°
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD
∵線段BD是由線段AB旋轉得到的，
∴AB=BD
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED(AAS)，
∴BF=DE= a.
∵S△BCD= BCDE= aa=．
∴△BCD的面積為．