Question

【題目】（1）如圖1中，△ABC為正三角形，點E為AB邊上任一點，以CE為邊作正△DEC，連結AD．求的值．

（2）如圖2中，△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，點E為腰AB上任意一點，以CE為斜邊作等腰直角△CDE，連結AD．求的值；

（3）如圖3中，△ABC為任意等腰三角形，點E為腰AB上任意一點，以CE為底邊作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC＝AC．連結AD，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）由三角形ABC與三角形CDE都為正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及內角為60°，利用等式的性質得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB與三角形DCA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AD，即可求出所求之比；
（2）由三角形CDE與三角形ABC都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質得到CE=CD，BC=AC，以及銳角為45°，利用等式的性質得到∠ECB=∠DCA，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似得到三角形ECB與三角形DCA相似，利用相似三角形對應邊成比例即可求出所求之比；
（3）仿照前兩問，以此類推得到一般性規律，求出所求之比即可．

解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，AB＝AC，CE＝DC，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，

∠DCA＝∠DCE﹣∠ACE＝60°﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA（SAS），

∴BE＝AD，

則＝1；

（2）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝45°，CE＝DC，BC＝AC，

∴，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，

∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝45°﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴；

（3）依此類推，當BC＝AC時，＝，理由為：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B＝∠ACB＝∠DCE，CE＝DC，BC＝AC，

∴，

∵∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE，∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE，

∴∠ECB＝∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴＝．