Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=，點D是BC邊上一動點（不與點B、C重合）， 過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當△AEF為直角三角形時，BD的長為________ ．

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=，即可求得AC的長、∠AEF與∠BAC的度數，然后分別從從∠AFE=90°與∠EAF=90°去分析求解，又由折疊的性質與三角函數的知識，即可求得CF的長，繼而求得答案．

根據題意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

∵DE⊥BC，

∴∠FED=90°∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°，

∴∠AEF=180°∠BEF=60°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°，BC=9，

∴AC=BCtan∠B==1,∠BAC=60°，

如圖①若∠AFE=90°，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，

∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠FAC=∠EFD=30°，

∴CF=ACtan∠FAC=，

∴BD=DF= =；

如圖②若∠EAF=90°，

則∠FAC=90°∠BAC=30°，

∴CF=ACtan∠FAC==，

∴BD=DF==，

∴△AEF為直角三角形時，BD的長為：或 .

故答案為：或 .