Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A（1，0），已知拋物線y＝﹣x2+mx﹣2m（m是常數），頂點為P．

（1）當拋物線經過點A時，求頂點P坐標；

（2）等腰Rt△AOB，點B在第四象限，且OA＝OB．當拋物線與線段OB有且僅有兩個公共點時，求m滿足的條件；

（3）無論m取何值，該拋物線都經過定點H．當∠AHP＝45°，求此拋物線解析式．

Answer 1

【答案】（1）頂點P坐標(﹣，)；（2）m＞2﹣3；（3）y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣

【解析】

（1）將點A坐標代入解析式，可求m的值，即可求解；

（2）先求出點B坐標，由拋物線與線段OB有且僅有兩個公共點，可列不等式，可求解；

（3）當x＝2時，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，則拋物線都經過定點H（2，﹣4），分點P在AH的左側或右側兩種情況討論，構造全等三角形，求出BH解析式，即可求解．

解：（1）∵拋物線經過點A，

∴0＝﹣1+m﹣2m，

∴m＝﹣1，

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，

∴頂點P坐標（﹣，）；

（2）∵點A（1，0），OA＝OB，

∴點B（1，﹣1）

設直線OB的解析式為

將點B代入得

∴直線OB解析式為：y＝﹣x，

∵拋物線與線段OB有且僅有兩個公共點，

∴﹣x＝﹣x2+mx﹣2m，

∴△＝（m+1）2﹣8m＞0，

∴m＞2﹣3，或m＜﹣2﹣3，

∵拋物線與線段OB有且僅有兩個公共點，

∴

∴m≥0，

∴m＞2﹣3，

（3）∵當x＝2時，y＝﹣4+2m﹣2m＝﹣4，

∴拋物線都經過定點H（2，﹣4），

若點P在AH的左側，如圖1，過點A作AB⊥PH，過點B作BD⊥OA，過點H作HC⊥BD于C，

∵∠AHP＝45°，AB⊥PH，

∴∠BAH＝∠AHB＝45°，

∴AB＝BH，

∵∠DBA+∠CBH＝90°，∠DBA+∠DAB＝90°，

∴∠DAB＝∠CBH，且AB＝BH，∠ADB＝∠BCH＝90°，

∴△DAB≌△CBH（AAS）

∴AD＝BC，BD＝CH，

∵BC+BD＝4，CH﹣AD＝1，

∴BD＝CH＝，BC＝AD＝，

∴點B（﹣，﹣）

設直線BH解析式為：y＝kx+b，

∴

解得：

∴直線BH解析式為：y＝﹣x﹣，

∵y＝﹣x2+mx﹣2m

∴P（，）

∵點P（，）在直線BH上，

∴＝﹣×﹣

∴m1＝4，m2＝，

∵當m＝4時，點P（2，﹣4）與點H重合，

∴m＝

∴拋物線解析式：y＝﹣x2+x﹣，

若點P在AH的右側，如圖2，

同理可求：直線BH解析式為：y＝x﹣，

∵點P（，）在直線BH上，

∴＝×﹣，

∴m1＝4，m2＝，

∴拋物線解析式：y＝﹣x2+x﹣，

綜上所述，拋物線解析式為y＝﹣x2+x﹣或y＝﹣x2+x﹣．