Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）當點P運動到什么位置時，△BPC的面積最大？求出此時P點的坐標和△BPC的最大面積；
（3）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP₁C，那么是否存在點P，使四邊形POP₁C為菱形？若存在，直接寫出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c可得到關于b、c的方程組，解方程組求得b=-2，c=-3，則二次函數的表達式為y=x²-2x-3；
（2）根據平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得P′E的長，根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；
（3）作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，則PO=PC，根據翻折的性質得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點坐標為（0，-$\frac{3}{2}$），則點P的縱坐標為-$\frac{3}{2}$，再把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3可求出對應x的值，然后確定滿足條件的P點坐標．

解答 解：（1）把B（3，0）、C（0，-3）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴這個二次函數的表達式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1，
作PF⊥x軸于F點，交BC于E點，
BC的解析式為y=x-3，設E（m，m-3），P′（m，m²-2m-3）．
P′E=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
S_△BCP′=S_△BEP′+S_CEP′=$\frac{1}{2}$P′E×FB+$\frac{1}{2}$EP′•OF
=$\frac{1}{2}$EP′•OB
=$\frac{1}{2}$×3[-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$]
當m=$\frac{3}{2}$時，S_最大=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
m²-2m-3=-$\frac{15}{4}$，
此時P′（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；
（3）存在．理由如下：
作OC的垂直平分線交直線BC下方的拋物線于點P，垂足為點E，如圖2，
則PO=PC，
∵△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，
∴OP′=OP，CP′=CP，
∴OP′=OP=CP′=CP，
∴四邊形POP′C為菱形，
∵C點坐標為（0，-3），
∴E點坐標為（0，-$\frac{3}{2}$），
∴點P的縱坐標為-$\frac{3}{2}$，
把y=-$\frac{3}{2}$代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-$\frac{3}{2}$，
解得x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$，
∵點P在直線BC下方的拋物線上，
∴x=$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，
∴滿足條件的點P的坐標為（ $\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查了二次函數綜合題：二次函數y=ax²+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點式為y=a（x-$\frac{2a}$）²+$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$，當a＞0，y_最小值=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；當a＜0，y_{最，大值}=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$；利用面積的和差得出二次函數是解題關鍵，又利用了二次函數的性質；對于特殊四邊形的判定與性質以及勾股定理要熟練運用．