Question

【題目】如圖，在中，，，，線段上一動點，以的速度從點出發向終點運動．過點作，交折線于點，以為一邊，在左側作正方形．設運動時間為，正方形與重疊部分面積為．

（1）________；

（2）當為何值時，點在上；

（3）求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（4）直線將面積分成兩部分時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）當點E在AC上時，；當點E在BC上時，

【解析】

（1）根據題意，設AC長為，然后利用勾股定理進一步列出方程求解即可；

（2）根據題意，畫出當點F在AC上時的圖形，然后證明出AG=DG=BD=AB=2，最后進一步計算即可；

（3）根據題意，分當時、時、當時三種情況，分別得出相應的圖形，然后根據圖形進一步計算求解即可；

（4）如圖所示，①當點E在AC上時，畫出此時的正方形DEFG，連接BF交AC于點M，

根據題意首先求出，然后進一步證明△FEM~△BAM，接著利用相似三角形性質進一步求解即可；②當點E在BC上時，，畫出此時的正方形DEFG，延長BF交AC于點M，過點F作FN⊥BC交BC于N，首先根據等腰直角三角形性質得出BD=DE=EF=，NE=FN=，然后進一步證明△BFN~△BMC，從而得出，由此進一步分析即可得知當直線將面積分成兩部分時的的取值范圍.

（1）設AC長為，則BC=，

則在Rt△ABC中，，

即：，

解得：，

∵是正數，

∴，

∴AC=，

故答案為：；

（2）當點F在AB上時，可得下圖：

∵四邊形DEFG是正方形，

∴EF∥AB，EF=FG=GD=ED，∠FGA=∠EDB=90°，

∵在Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°，

∴△AGF與△BDE是等腰直角三角形，

∴AG=GF，DE=BD，

∴AG=DG=BD=AB=2，

∴AD=4，

∴此時；

（3）如圖，當時，重疊部分為△ADE，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∵DE⊥AB，

∴∠AED=45°，

∴AD=DE=，

∴；

如圖，當時，重疊部分是五邊形MNEDG，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴FG=GD=DE，∠AGM=∠EDB=∠F=90°，

∵∠B=∠A=45°，

∴∠AMG=∠DEB=45°，

∴AG=GM，BD=DE，

∴FG=DG=DE=DB=，

∴MG=AG=ADDG=，

∴FM=FGMG=，

∵∠AMG=45°，∠F=90°，

∴∠FNM=45°，

∴FN=FM=，

∴；

如圖，當時，重疊部分為正方形DEFG，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴GD=DE，∠EDB=90°，

∵∠B=45°，

∴∠DEB=45°，

∴DE=DB=，

∴，

綜上所述，；

（4）

①如上圖所示，當點E在AC上時，畫出此時的正方形DEFG，連接BF交AC于點M，

∵要使直線將面積分成兩部分，

∴此時，

∴，

∴，

∵EF∥AB，

∴∠FEM=∠BAM，

∴△FEM~△BAM，

∴，

又∵在等腰Rt△ADE中，AE=，

∴，

∴；

②如上圖所示，當點E在BC上時，，畫出此時的正方形DEFG，延長BF交AC于點M，過點F作FN⊥BC交BC于N，

則BD=DE=EF=，

在Rt△BDE中，∠ABC=45°，

∴BE=BD=，

∵EF∥AB，

∴∠NEF=∠CBA=45°，

∵FN⊥BC，

∴△FNE為等腰直角三角形，

∴NE=FN=，

∵∠C=∠FNB，∠CBM=∠NBF，

∴△BFN~△BMC，

∴，

∵AC=BC，

∴，

∴，

∴，

∴當直線將面積分成兩部分時，，

綜上所述，當點E在AC上時，；當點E在BC上時，.