Question

14．如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判斷△ABC的形狀：△ABC是等邊三角形；
（2）試探究線段PA，PB，PC之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，從而可判斷△ABC的形狀；
（2）在PC上截取PD=AP，則△APD是等邊三角形，然后證明△APB≌△ADC，證明BP=CD，即可證得．

解答 證明：（1）△ABC是等邊三角形．
證明如下：在⊙O中，
∵∠BAC與∠CPB是$\widehat{BC}$對的圓周角，∠ABC與∠APC是$\widehat{AC}$所對的圓周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形；
故答案為：△ABC是等邊三角形；

（2）在PC上截取PD=AP，如圖1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等邊三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．

點評 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定、三角形的全等的判定與性質，正確作出輔助線，證明△APB≌△ADC是關鍵．