Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且點的坐標為．

（1）求拋物線的函數表達式和、兩點的坐標；

（2）如圖，設點是線段上的一個動點，過點作軸交于點，過點作軸，垂足為．記，矩形的面積為，求與之間的函數關系式，并求出的最大值及此時點的坐標；

（3）設拋物線的對稱軸與交于點（如圖2），點是拋物線上的一個動點，點是軸上的一個動點，當以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；A（8,0）；B（0,8）；（2）；S的最大值為16，此時；（3）或或或

【解析】

（1）先求出拋物線的對稱軸，然后利用拋物線的對稱性即可求出點A的坐標，然后將x=0代入即可求出點B的坐標，將點C的坐標代入到解析式中即可求出拋物線的解析式；

（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式，然后用含x的式子表示出ED的長，再根據矩形的面積公式即可求出S與x的函數關系式，然后利用二次函數求最值即可；

（3）根據AR為平行四邊形的邊或對角線分類討論，根據平行四邊形的性質、點Q和點P的縱坐標關系即可求出點Q的縱坐標，然后代入二次函數解析式中即可求出結論．

解：（1）∵，

∴拋物線的對稱軸為：，

令，得到，

∵點坐標為：，點與點關于對稱軸對稱，

∴點坐標為：，

∴點的坐標為，

將代入得：，

∴，

則拋物的函數表達式為；

（2）設直線的解析式為，

將，代入，得

把和坐標代入得：，

解得：，

∴直線解析式為，

由，即橫坐標為，

代入直線解析式得：，即，

則矩形的面積，，

當，即時，有最大值，最大值為16；

（3）當AR為以、、、為頂點的平行四邊形的邊時，過點P作AR的平行線，如圖所示， 此時存在兩個Q

把代入直線解析式，解得，

∴點P的坐標為（5,3）

∴縱坐標為3，

把代入拋物線解析式得：解得：，

∴點Q的坐標為或；

當AR為以、、、為頂點的平行四邊形的對角線時，

∵AR的中點即為PQ的中點，AR的中點在x軸上，即中點的縱坐標為0

∴PQ的中點的縱坐標也為0

∵點P的縱坐標為3

∴的縱坐標為-3，

把代入拋物線解析式得：解得：，

∴點Q的坐標為或；

即的坐標為：或或或．