Question

【題目】如圖，在ABCD中，對角線AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB邊的下方作射線AG，使得∠BAG＝30°，E為線段DC上一個動點，在射線AG上取一點P，連接BP，使得∠EBP＝60°，連接EP交AC于點F，在點E的運動過程中，當∠BPE＝60°時，則AF＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，連接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延長線于M．首先證明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性質求出CM，由CM∥PA，推出，由此即可解決問題．

解：如圖，連接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延長線于M．

∵AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，

∵BC＝，∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°，

∵∠EPB＝∠EBP＝60°，

∴△EPB是等邊三角形，

∴∠PEB＝60°，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，

∴∠EPB+∠BCE＝180°，

∴P，B，C，E四點共圓，

∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，

∵∠TCB＝∠CBT＝60°

∴△TCB是等邊三角形，

∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝，

∵∠BAG＝∠BAC＝30°，

∴∠APC＝90°，

∴PA＝ATcos30°＝3，AN＝PAcos30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝，

∴BN＝AB﹣AN＝，

∵∠PBE＝∠CBT＝60°，

∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，

∵∠PCM＝∠PNB＝90°，

∴△PCM∽△BNP，

∴，

∴，

∴CM＝，

∵PA⊥PC，CM⊥PC，

∴CM∥PA，

∴，

∴AF＝AC＝．

故答案為．