Question

【題目】在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形和擺放在一起，為公共頂點，，若固定不動，繞點旋轉，、與邊的交點分別為、（點不與點重合，點不與點重合）．

（1）求證：；

（2）在旋轉過程中，試判斷等式是否始終成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立．

【解析】

（1）由圖形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根據∠B=∠C=45°，證明兩個三角形相似；
（2）將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，證明△EAD≌△HAD轉化DE、EC，使所求線段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解決．

（1）∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；
（2）成立．如圖，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，

則CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋轉角∠EAH=90°．
連接HD，在△EAD和△HAD中，

∴△EAD≌△HAD（SAS）．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+BH2=HD2，即BD2+CE2=DE2．