Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AB＝4，點C是AB延長線上一點，且BC＝2，點D是半圓的中點，點P是⊙O上任意一點．

（1）當PD與AB交于點E且PC＝CE時，求證：PC與⊙O相切；

（2）在（1）的條件下，求PC的長；

（3）點P是⊙O上動點，當PD+PC的值最小時，求PC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）根據點D是半圓的中點可得，∠APD＝45°，根據圓的半徑相等和三角形的外角性質可推出∠PEC＝90°﹣∠OPE，根據PC＝CE即可證得；

（2）在△OPC中，由勾股定理即可求出PC的長；

（3）根據兩點之間線段最短可知，當點C、P、D三點共線時，PD+PC最小，根據圓內接四邊形的性質和已知條件可證得△CBP'∽△CDA，利用對應邊成比例即可求出答案．

（1）證明：如圖1，

∵點D是半圓的中點，

∴∠APD＝45°，

連接OP，

∴OA＝OP，

∴∠OAP＝∠OPA，

∴∠PEC＝∠OAP+∠APE＝∠OPA+∠APE＝∠APE﹣∠OPE+∠APE＝2∠APE﹣∠OPE＝90°﹣∠OPE，

∵PC＝EC，

∴∠CPE＝∠PEC＝90°﹣∠APE，

∴∠OPC＝∠OPE+∠CPE＝∠OPE+90°﹣∠OPE＝90°，

∵點P在⊙O上，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠OPC＝90°，

∵AB＝4，

∴OP＝OB＝AB＝2，

∵BC＝2，

∴OC＝OB+BC＝4，

根據勾股定理得，；

（3）解：連接OD，如圖2，

∵D是半圓O的中點，

∴∠BOD＝90°，要使PD+PC的值最小，則連接CD交⊙O于P'，

即點P在P'的位置時，PD+PC最小，

由（2）知，OC＝4，

在Rt△COD中，OD＝OB＝2，

根據勾股定理得，，

連接BP，AD，則四邊形ADP'B是⊙O的內接四邊形，

∴∠CBP'＝∠CDA，

∵∠BCP＝∠DCA，

∴△CBP'∽△CDA，

∴，

∴，

∴CP'＝，

∴當PD+PC的值最小時，PC=．