Question

【題目】如果一個三位數，十位數字等于百位數字與個位數字的平均數，我們稱這個三位數為“順子數”，例如：630，123．

如果一個三位數，十位數字等于百位數字與個位數字的積的算術平方根，我們稱這個三位數為“和諧數”，例如：139，124．

（1）若三位數是“順子數”，且各位數字之和大于7小于10，且百位數字a使得一元二次方程（a﹣5）x2+2ax+a﹣6=0有實數根，求這個“順子數”；

（2）若三位數既是“順子數”又是“和諧數”，請探索a，b，c三者的關系．

Answer 1

【答案】（1）這個“順子數”為333或432或630；（2）a=b=c.

【解析】

（1）根據根的判別式求出實數的取值范圍，各位數字之和大于7小于10，則a+b+c=8或a+b+c=9，再根據“順子數”的定義得到即可得出a+c=6，分類討論即可.

（2）根據“順子數”，“和諧數”的定義得到ac=b2，a+c=2b，整理即可.

（1）根據題意得：△=（2a）2﹣4（a﹣5）（a﹣6）≥0且

解得：且

∵各位數字之和大于7小于10，

∴a+b+c=8或a+b+c=9，

又∵

∴a+c=（舍去）或a+c=6，

若a=3，則c=3，b=3，該數為333，

若a=4，則c=2，b=3，該數為432，

若a=6，則c=0，b=3，該數為630，

答：這個“順子數”為333或432或630，

（2）根據題意得：

ac=b2，a+c=2b，

把代替ac=b2，得：

整理得：a=c，

答：a，b，c三者的關系為：a=b=c．