Question

【題目】如圖，等邊，點為射線上一點，延長至點，使得，聯結并延長交射線于點。

（1）當點在邊上時，如圖1，若，則

（2）當點在邊上時，如圖2，若，則（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出與的數量關系并證明。

（3）當點在邊的延長線上時，則（1）的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出與的數量關系并證明。

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）見解析；（3）∠CFA+∠DBC=60°，理由見解析．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE，可求∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，即可求解；
（2）如圖2，過點C作CH∥AB交AE的延長線于H，可證△CHE是等邊三角形，可得CH=CE=HE=AD，通過證明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性質可求解；
（3）如圖3，過點C作CH∥AB交AE的延長線于H，可證△CHE是等邊三角形，可得CH=CE=HE=AD，通過證明△BAD≌△DHC，可得∠DBF=∠HDC，由外角性質可求解；

（1）∵△ABE是等邊三角形，ED=AD，
∴BD⊥AE，∠DBE=∠DBA=30°，AB=AE，
∵EC=AD，∠BEA=60°，
∴∠ECF=30°，
∴∠CFA=∠ABC+∠ECD=90°，
∴∠CFA-∠DBC=90°-30°=60°，
故答案為：60°；
（2）如圖2，過點C作CH∥AB交AE的延長線于H，

∵CH∥AB，
∴∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°，
∴△CHE是等邊三角形，
∴CH=CE=HE，
∵EC=AD，
∴HE=CH=AD，
∴HE+DE=AD+DE，
∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°，
∴△BAD≌△DHC（SAS）
∴∠DBF=∠HDC，
∵∠CFA=∠CBF+∠BCF=∠CBD+∠DBF+∠BCF，
∴∠CFA-∠DBC=∠DBF+∠BCF=∠HDC+∠BCF=∠BEA=60°；
（3）如圖3，過點C作CH∥AB交AE的延長線于H，

∵CH∥AB，
∴∠HCD=∠CFA，∠H=∠EAB=60°，∠HCE=∠EBA=60°，
∴△CHE是等邊三角形，
∴CH=CE=HE，
∵EC=AD，
∴HE=CH=AD，
∴HE-DE=AD-DE，
∴HD=AE=AB，
∵HD=AB，AD=CH，∠H=∠BAD=60°，
∴△BAD≌△DHC，（SAS）
∴∠DBA=∠HDC，∠HCD=∠BDA，
∴∠BDA=∠CFA，
∵∠AEB=∠ADB+∠DBC=60°，
∴∠CFA+∠DBC=60°．