Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，C點在軸上，A點在軸上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD沿直線EF折疊，點B落在AD邊上的G處，E、F分別在BC、AB邊上且F(1，4)．

(1)求G點坐標

(2)求直線EF解析式

(3)點N在坐標軸上，直線EF上是否存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）G（0，4-）；（2）；（3）.

【解析】

1（1）由F（1，4），B（3，4），得出AF=1，BF=2，根據折疊的性質得到GF=BF=2，在Rt△AGF中，利用勾股定理求出 ，那么OG=OA-AG=4-，于是G（0，4-）；

（2）先在Rt△AGF中，由 ，得出∠AFG=60°，再由折疊的性質得出∠GFE=∠BFE=60°，解Rt△BFE，求出BE=BF tan60°=2，那么CE=4-2，E（3，4-2）.設直線EF的表達式為y=kx+b，將E（3，4-2），F（1，4）代入，利用待定系數法即可求出直線EF的解析.（3）因為M、N均為動點，只有F、G已經確定，所以可從此入手，結合圖形，按照FG為一邊，N點在x軸上；FG為一邊，N點在y軸上；FG為對角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀.確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用平行四邊形及平移的性質求得M點的坐標.

解：（1）∵F（1，4），B（3，4），

∴AF=1，BF=2，

由折疊的性質得：GF=BF=2，

在Rt△AGF中，由勾股定理得，

∵B（3，4），

∴OA=4，

∴OG=4-，

∴G（0，4-）；

（2）在Rt△AGF中，

∵ ，

∴∠AFG=60°，由折疊的性質得知：∠GFE=∠BFE=60°，

在Rt△BFE中，

∵BE=BFtan60°=2，

.CE=4-2，

.E（3，4-2）.

設直線EF的表達式為y=kx+b，

∵E（3，4-2），F（1，4），

∴ 解得

∴ ；

（3）若以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形，則分如下四種情況：

①FG為平行四邊形的一邊，N點在x軸上，GFMN為平行四邊形，如圖1所示.

過點G作EF的平行線，交x軸于點N1，再過點N：作GF的平行線，交EF于點M，得平行四邊形GFM1N1.

∵GN1∥EF，直線EF的解析式為

∴直線GN1的解析式為，

當y=0時， .

∵GFM1N1是平行四邊形，且G（0，4-），F（1，4），N1（ ，0），

∴M，（ ，）；

②FG為平行四邊形的一邊，N點在x軸上，GFNM為平行四邊形，如圖2所示.

∵GFN2M2為平行四邊形，

∴GN與FM2互相平分.

∴G（0，4-），N2點縱坐標為0

∴GN：中點的縱坐標為 ，

設GN中點的坐標為（x，）.

∵GN2中點與FM2中點重合，

∴

∴x=

∵.GN2的中點的坐標為（），

.∴N2點的坐標為（，0）.

∵GFN2M2為平行四邊形，且G（0，4-），F（1，4），N2（，0），

∴M2（）；

③FG為平行四邊形的一邊，N點在y軸上，GFNM為平行四邊形，如圖3所示.

∵GFN3M3為平行四邊形，.

∴GN3與FM3互相平分.

∵G（0，4-），N2點橫坐標為0，

.∴GN3中點的橫坐標為0，

∴F與M3的橫坐標互為相反數，

∴M3的橫坐標為-1，

當x=-1時，y=，

∴M3（-1，4+2）；

④FG為平行四邊形的對角線，GMFN為平行四邊形，如圖4所示.

過點G作EF的平行線，交x軸于點N4，連結N4與GF的中點并延長，交EF于點M。，得平行四邊形GM4FN4

∵G（0，4-），F（1，4），

∴FG中點坐標為（），

∵M4N4的中點與FG的中點重合，且N4的縱坐標為0，

.∴M4的縱坐標為8-.

5-45解方程 ，得

∴M4（）.

綜上所述，直線EF上存在點M，使以M，N，F，G為頂點的四邊形是平行四邊形，此時M點坐標為： 。