Question

【題目】如圖，在△ABG中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AG上，與△ADC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重含），設AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．

（1）求y與x的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時y的值最大？

Answer 1

【答案】（1）（） （2）

【解析】

（1）當點D保持在AC上時，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據直角梯形的面積公式，只需用含x的代數式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；進而得出CD=AC-AD=1-x，再根據等腰三角形及平行線的性質可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD=1-x；根據點D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數，根據二次函數的性質，可知當x=-時，y的值最大；

解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DE∥AB，

∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，

∴∠C=∠CED，

∴DC=DE．

在Rt△ADF中，∵∠A=45°，

∴∠ADF=45°=∠A，

∴AF=DF=x，

∴AD=,

∴DC=DE=1﹣x，

∴y=（DE+FB）×DF=（1﹣x+1﹣x）x=﹣（+1）x2+x．

∵點D保持在AC上，且D不與A重合，

∴0＜AD≤1，

∴0＜x≤1，

∴0＜x≤．

故y=﹣（+1）x2+x，自變量x的取值范圍是0＜x≤；

（2）∵y=﹣（+1）x2+x，

∴當x=-=﹣1時，y有最大值．