Question

【題目】如圖，一元二次方程x2+2x﹣3=0的兩根x1，x2（x1＜x2）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點C，B的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）．

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點G，則P點坐標為　 　，G點坐標為　 　；

（3）在x軸上有一動點M，當MG+MA取得最小值時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）拋物線頂點P的坐標為（﹣1，﹣2），G點坐標為（﹣1，2）；（3）M點坐標為（0，0）

【解析】

（1）可先根據一元二次方程求出x1，x2的坐標，也就求出了B，C兩點的坐標，然后可用交點式的二次函數通式來設二次函數的解析式，根據已知的A點的坐標求出二次函數的解析式．
（2）根據（1）二次函數解析式可得出頂點P的坐標和對稱軸的解析式，G點就是直線AC與拋物線對稱軸的交點，可先根據A，C的坐標，用待定系數法求出AC所在直線的解析式，然后將P點的橫坐標代入求得的一次函數的解析式中即可求出G的坐標．
（3）本題的關鍵是先確定M點的位置，可先做A關于x軸的對稱點A′然后連接A′C，與x軸的交點就是點M，那么可根據A′，C兩點的坐標求出A′C所在直線的解析式，又已知了M在x軸上即可求出M點的坐標．

解：（1）解方程x2+2x﹣3=0

得x1=﹣3，x2=1．

∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為：C（﹣3，0），B（1，0），

設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

∵A（3，6）在拋物線上，

∴6=a（3+3）（3﹣1），

∴a=，

∴拋物線解析式為y=x2+x﹣．

（2）由y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，

∴拋物線頂點P的坐標為（﹣1，﹣2），對稱軸方程為x=﹣1．

設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3，6），C（﹣3，0）在該直線上，

∴ ,

解得：k=1,b=3,

∴直線AC的解析式為：y=x+3．

將x=﹣1代入y=x+3

得y=2，

∴G點坐標為（﹣1，2）．

（3）作A關于x軸的對稱點A′（3，﹣6），

連接A′G，A′G與x軸交于點M即為所求的點．

設直線A′G的解析式為y=kx+b．

∴ ，解得： ，

∴直線A′G的解析式為y=﹣2x，令x=0，則y=0．

∴M點坐標為（0，0）．