Question

【題目】如圖，已知點，且，滿足.過點分別作軸、軸，垂足分別是點、.

（1）求出點的坐標；

（2）點是邊上的一個動點（不與點重合），的角平分線交射線于點，在點運動過程中，的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，說明理由.

（3）在四邊形的邊上是否存在點，使得將四邊形分成面積比為1：4的兩部分？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的坐標為；（2）不變化，；（3）存在，點的坐標為，.

【解析】

（1）由絕對值和算術平方根的性質可知 ，故兩者和為0時，各自都必須為0，即，由此可列出關于，的二元一次方程組，解之即可得出B點坐標；（2）根據平行線和角平分線的性質可證明，所以比值不變化；（3）點P只能在OC,OA邊上，表示出兩部分的面積，依比值求解即可.

解：（1）由得：

,解得：

∴點的坐標為

（2）不變化

∵ 軸

∴BC∥x軸

∴

∵ 平分

∴

∴

∴

（3）點P可能在OC,OA邊上，如下圖所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面積為15

若點P在OC邊上，可設P點坐標為，則

三角形BCP的面積為，

剩余部分面積為 ，

所以 ，解得，

P點坐標為；

若點P在OA邊上，可設P點坐標為，則

三角形BAP的面積為 ，

剩余部分面積為 ，

所以 ，解得，

P點坐標為.

綜上,點的坐標為，.