Question

【題目】已知，P為等邊三角形ABC內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則S△ABC＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，根據旋轉的性質得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延長BP，作AF⊥BP于點F，根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度數，在Rt△APF中利用三角函數求得AF和PF的長，則在Rt△ABF中利用勾股定理求得AB的長，進而求得三角形ABC的面積．

解：∵△ABC為等邊三角形，

∴BA＝BC，

可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA，

連EP，且延長BP，作AF⊥BP于點F．如圖，

∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，

∴△BPE為等邊三角形，

∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，

在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，

∴AE2＝PE2+PA2，

∴△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，

∴∠APB＝90°+60°＝150°．

∴∠APF＝30°，

∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝．

∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12．

∴△ABC的面積＝AB2＝（25+12）＝；

故答案為：．