Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A、B坐標分別為A（O，a）、B（b，a），且a、b滿足：，現同時將點A、B分別向下平移3個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A、B的對應點C、D，連接AC、BD、AB．

（1）求點C、D的坐標；

（2）在y軸上是否存在點M，連接MC、MD，使三角形MCD的面積為30？若存在這樣的點，求出點M的坐標；若不存在，試說明理由．

（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PA、PO，當點P在BD上移動時（不與B、D重合），的值是否發生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C（﹣1，0），D（4，0）；（2）存在，點M（0，12）或（0，﹣12）；（3）不變，理由見解析.

【解析】

（1）由偶次方及算術平方根的非負性可求出a、b的值，進而即可得出點A、B的坐標，再根據平移的性質可得出點C、D的坐標；

（2）設存在點M（0，y），根據三角形的面積結合S△MCD＝30，即可得出關于y的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）過P點作PE∥AB交OC與E點，根據平行線的性質得∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO，故比值為1．

（1）∵，

∴a＝3，b＝5，

∴點A（0，3），B（5，3）．

將點A，B分別向下平移3個單位，再向左平移1個單位，得到點C、D，

∴點C（﹣1，0），D（4，0）．

（2）設存在點M（0，y），

根據題意得：S△MCD＝×5|y|＝30，

∴解得：y＝±12，

∴存在點M（0，12）或（0，﹣12）．

（3）當點P在BD上移動時，＝1不變，理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E，

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO，

∴＝1．