Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，，，點E從點B出發，沿BC邊運動到點C，連結DE，過點E作DE的垂線交AB于點F．

求證：；

求BF的最大值；

如圖2，在點E的運動過程中，以EF為邊，在EF上方作等邊，求邊EG的中點H所經過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，BF存在最大值；（3）點H所經過的路徑長是．

【解析】分析：（1）依據∠BFE+∠BEF=90°，∠CED+∠BEF=90°，即可得到∠BFE=∠CED，再根據∠CED=∠ADE，即可得出∠BFE=∠ADE；

（2）依據△BEF∽△CDE，即可得到，設BE=x（0≤x≤3），則CE=3-x，根據BF=，即可得到當x=時，BF存在最大值；

（3）連接FH，取EF的中點M，連接BM，HM，依據BM=EM=HM=FM，可得點B，E，H，F四點共圓，連接BH，則∠HBE=∠EFH=30°，進而得到點H在以點B為端點，BC上方且與射線BC夾角為30°的射線上，再過C作CH'⊥BH于點H'，根據點E從點B出發，沿BC邊運動到點C，即可得到點H從點B沿BH運動到點H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'=BCcos∠CBH'=3×=，即可得出點H所經過的路徑長是．

詳解：證明：如圖1，在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

，

；

由可得，，，

∽，

，

在矩形ABCD中，，，

設，則，

，

，，

當時，BF存在最大值；

如圖2，連接FH，取EF的中點M，連接BM，HM，

在等邊三角形EFG中，，H是EG的中點，

，，

又是EF的中點，

，

在中，，M是EF的中點，

，

，

點B，E，H，F四點共圓，

連接BH，則，

點H在以點B為端點，BC上方且與射線BC夾角為的射線上，

如圖，過C作CH'⊥BH于點H'，

∵點E從點B出發，沿BC邊運動到點C，

∴點H從點B沿BH運動到點H'，

在Rt△BH'C中，∠BH'C=90°，

∴BH'=BCcos∠CBH'=3×=，

點H所經過的路徑長是．