Question

【題目】在平面中，給定線段AB和C，P兩點，點C與點P分布在線段AB的異側，滿足，則稱點C與點P是關于線段AB的關聯點．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，．

（1）在，，三個點中，點O與點P是關于線段AB的關聯點的是________；

（2）若點C與點P是關于線段OA的關聯點，求點P的縱坐標m的取值范圍；

（3）直線與x軸，y軸分別交與點E，F，若在線段AB上存在點P與點O是關于線段EF的關聯點，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1， P3；（2）-≤m<0；（3）1≤b<2

【解析】

（1）分別求出∠AP1B，∠AP2B，∠AP3B，當所求角等于90°時即為點O的關聯點；

（2）根據題意確定點O、A、C、P四邊共圓，故點P在劣弧OA上，當CP是直徑時，存在m的最小值，利用勾股定理求出半徑AE，即可得到PD，由此求出m的最小值，得到m的取值范圍；

（3）求出直線AB的解析式為y=-x+2，證明直線與直線AB平行，當以EF為直徑的圓與直線AB相切時有最小值，與直線AB相交時都可得到∠EPF=90°，故b<2，求出以EF為直徑的圓與直線AB相切時FP=OF=BF=1，由此得到b的取值范圍．

解：(1)∵，，

∴,

∵,

∴， ,

∴，

∴∠AP1B=90°，

∴∠AOB+∠AP1B=180°，

∴點O與點P1是關于線段AB的關聯點；

∵，

∴，

∴,

∴，故點O與點P2不是關于線段AB的關聯點；

∵，

∴，

∴，

∴，

∴∠AOB+∠AP3B=180°，

∴點O與點P3是關于線段AB的關聯點；

故答案為：P1、P3；

(2) ∵點C與點P是關于線段OA的關聯點，

∴點O、A、C、P四邊共圓，故點P在劣弧OA上，當CP是直徑時，存在m的最小值，

設圓心為E，

∵,A（2,0），

∴CP⊥OA，CD=，OD=AD=1，

∵,

∴,

∴,

∴,

∴PD=,即m=-，

∴-≤m<0 ；

(3)設直線AB的解析式為y=mx+n，將點A(2,0)，B(0，2)代入，得

，∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+2，

∴直線與直線AB平行，

∵A(2,0)，B(0，2),

∴OA=OB，

∴∠OFE=∠OBA=45°，

∵∠EOF=90°，點P與點O是關于線段EF的關聯點，

∴∠EPF=90°，

∴當以EF為直徑的圓與直線AB相切時有最小值，與直線AB相交時都可得到∠EPF=90°，故b<2，

當以EF為直徑的圓與直線AB相切時，連接EF中點N與點P，連接PE、PF，

∴∠BPN=90°，

∴∠FNP=90°，

∵FN=PN，

∴∠NFP=∠NPF=45°，

∴∠OFP=90°，

∴四邊形OFPE是矩形，

∵OF=OE，

∴四邊形OFPE是正方形，

∴OF=PF=BF=1，

∴1≤b<2．