Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點O是對角線BD的中點．

（1）觀察猜想：將圖1中的△BCD繞點O逆時針旋轉至圖2中△ECF的位置，連接AC，DE，則線段AC與DE的數量關系是　 　，直線AC與DE的位置關系是　 　．

（2）類比探究：將圖2中的△ECF繞點O逆時針旋轉至圖3的位置，（1）中的結論是否成立？并說明理由．

（3）拓展延伸：將圖2中的△ECF在平面內旋轉，設直線AC與DE的交點為M，若AB＝4，請直接寫出BM的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝DE，AC⊥DE；（2）（1）中的結論：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立，見解析；（3）BM的最大值為﹣2，最小值為+2．

【解析】

(1)連接OA，OC，可證△AOC≌△DOE(SAS)；

(2)方法和(1)相同，易證△AOC≌△DOE(SAS)；

(3)在旋轉過程中，取AD中點N，連接MN，BN，BM，BM、MN、BN不共線時構成三角形，由三角形邊的關系“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”可知：BN﹣MN＜BM＜BN+MN，當B，N，M共線時，

得到BM＝BN+MN和BM＝BN﹣MN分別為BN的最大值、最小值．

(1)如圖1和圖2，連接OA，OC，

∵正方形ABCD，

∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝OB＝OC＝OD，∠AOD＝∠COE＝90°，

∴∠AOD+∠DOC＝∠COE+∠DOC，即∠AOC＝∠DOE，

∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴AC＝DE，∠ACO＝∠DEO，

∵∠DEO+∠EMO＝90°，∠EMO＝∠CMD，

∴∠ACO+∠CMD＝90°，

∴AC⊥DE，

故答案為：AC＝DE，AC⊥DE；

(2)(1)中的結論：AC＝DE，AC⊥DE仍然成立，

如圖3，連接OA，OC，延長AC，ED交于M，

∵∠AOC+∠COD＝∠DOE+∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠DOE，

∵OA＝OC＝OD＝OE，

∴△AOC≌△DOE(SAS)，

∴∠OAC＝∠＝OCA＝∠ODE＝∠OED，

∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，

∴∠AOC+∠OAC+∠OED＝180°，

∴∠OAC+∠AOE+∠OED＝270°，

∵∠OAC+∠AOE+∠OED+∠M＝360°，

∴∠M＝90°，

∴AC⊥DE；

(3)如圖3，取AD中點N，連接MN，BN，BM，

AB＝AD＝4，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，AN＝DN，∴MN＝AD＝×4＝2，

在Rt△ABN中，BN＝，

當△ECF在平面內旋轉時，BN﹣MN≤BM≤BN+MN，

∴2﹣2≤BM≤2+2．

∴BM的最大值為2﹣2，最小值為2+2．