Question

13．有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．現要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．
（1）如果此矩形可分割成兩個并排放置的正方形，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條鄰邊長分別為多少mm？請你計算．
（2）如果題中所要加工的零件只是矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條鄰邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條鄰邊長．

Answer 1

分析 （1）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ=ymm，則PN=2ymm，易證△APN∽△ABC，由相似三角形的性質解答即可；
（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答

解答 解：（1）設矩形的邊長PN=2ymm，則PQ=ymm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{2y}{120}=\frac{80-y}{80}$，
解得y=$\frac{240}{7}$，
∴PN=$\frac{240}{7}$×2=$\frac{480}{7}$（mm），
答：這個矩形零件的兩條邊長分別為$\frac{240}{7}$mm，$\frac{480}{7}$mm；
（2）設PN=xmm，由條件可得△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{x}{120}=\frac{80-PQ}{80}$，
解得PQ=80-$\frac{2}{3}$x．
∴S=PN•PQ=x（80-$\frac{2}{3}$x）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∴S的最大值為2400mm²，此時PN=60mm，PQ=80-$\frac{2}{3}$×60=40（mm）．

點評 本題考查了相似三角形的應用，二次函數的最值問題，根據相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的關鍵．