Question

【題目】已知：二次函數y=x2+bx+c經過原點，且當x=2時函數有最小值；直線AC解析式為y=kx-4，且與拋物線相交于B、C．

（1）求二次函數解析式；

（2）若S△AOB∶S△BOC=1：3，求直線AC的解析式；

（3）在（2）的條件下，點E為線段BC上一動點（不與B、C重合），過E作x軸的垂線交拋物線于F、交x軸于G，是否存在點E，使△BEF和△CGE相似？若存在，請求出所有點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x；（2）直線AC的解析式為y=x-4；（3）存在，E點坐標為E(3．-1)或E(2，-2 ) ．

【解析】

（1）根據二次函數y=x2+bx+c經過原點可知c=0，當x=2時函數有最小值可知對稱軸是x=2，故可求出b，即可求解；

（2）連接OB，OC，過點C作CD⊥y軸于D，過點B作BE⊥y軸于E，根據得到，，由EB∥DC，對應線段成比例得到，再聯立y=kx-4與y=x2-4x得到方程 kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0，求出x1,x2，根據x1,x2之間的關系得到關于k的方程即可求解；

（3）根據（1）（2）求出A,B,C的坐標，設E（m，m-4）（1＜m＜4）則G（m，0）、F（m，m2-4m），根據題意分∠EFB=90°和∠EBF=90°，分別找到圖形特點進行列式求解．

解：（1）∵二次函數y=x2+bx+c經過原點，

∴c=0

∵當x=2時函數有最小值

∴，

∴b=-4，c=0，

∴y=x2-4x；

（2）如圖，連接OB，OC，過點C作CD⊥y軸于D，過點B作BE⊥y軸于E，

∵

∴

∴

∵EB∥DC

∴

∵y=kx-4交y=x2-4x于B、C

∴kx-4=x2-4x，即x2-（k+4）x+4=0

∴，或

∵xB＜xC

∴EB=xB=，DC=xC=

∴4=

解得 k=-9（不符題意，舍去）或k=1

∴k=1

∴直線AC的解析式為y=x-4；

（3）存在．理由如下：

由題意得∠EGC=90°，

∵直線AC的解析式為y=x-4

∴A(0，-4 ) ，C（4，0）

聯立兩函數得，解得或

∴B（1，-3）

設E（m，m-4）（1＜m＜4）

則G（m，0）、F（m，m2-4m）

①如圖，當∠EFB=90°，即CG//BF時，△BFE∽△CGE．

此時F點縱坐標與B點縱坐標相等．

∴F（m，-3）

即m2-4m=-3

解得m=1（舍去）或m=3

∴F（3，-3）

故此時E（3，-1）

②如圖當∠EBF=90°，△FBE∽△CGE

∵C（4，0），A(0 ，4 )

∴OA=OC

∴∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE

過B點做BH⊥EF，

則H（m,-3）∴BH=m-1

又∵∠GCE=45°=∠BEF=∠BFE

∴△BEF是等腰直角三角形，又BH⊥EF

∴EH=HF，EF=2BH

∴(m-4)- (m2-4m) =2(m-1)

解得m1=1（舍去）m2=2

∴E(2,-2)

綜上，E點坐標為E(3.-1)或E(2,-2)．