Question

【題目】如圖，△ABC是一塊直角三角板，且∠C＝90°，∠A＝30°，現將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內部，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC＝7+2，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長為_____．

Answer 1

【答案】15+5．

【解析】

添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為，先求出△ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出∠OO1O2＝60°＝∠ABC、∠O1OO2＝90°，從而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性質即可得出答案．

如圖，圓心O的運動路徑長為，

過點O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分別為點D、F、G，

過點O作OE⊥BC，垂足為點E，

過點O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分別為點H、I，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°、∠A＝30°，

∴AC＝＝7+6，AB＝2BC＝14+4，∠ABC＝60°，

∴C△ABC＝13+27，

∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，

∴D、G為切點，

∴BD＝BG，

在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，

∵ ，

∴△O1BD≌△O1BG（HL），

∴∠O1BG＝∠O1BD＝30°，

在Rt△O1BD中，∠O1DB＝90°，∠O1BD＝30°，

∴BD＝＝2，

∴OO1＝7+2﹣2﹣2＝5，

∵O1D＝OE＝2，O1D⊥BC，OE⊥BC，

∴O1D∥OE，且O1D＝OE，

∴四邊形OEDO1為平行四邊形，

∵∠OED＝90°，

∴四邊形OEDO1為矩形，

同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，

又OE＝OF，

∴四邊形OECF為正方形，

∵∠O1GH＝∠CDO1＝90°，∠ABC＝60°，

∴∠GO1D＝120°，

又∵∠FO1D＝∠O2O1G＝90°，

∴∠OO1O2＝360°﹣90°﹣90°＝60°＝∠ABC，

同理，∠O1OO2＝90°，

∴△OO1O2∽△CBA，

∴，即，

∴C△OO1O2＝15+5，

即圓心O運動的路徑長為15+5.

故答案為15+5．