Question

11．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=k₁x+b的圖象與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y=kx的圖象交點為C（3，4）．求：
（1）求k值與一次函數y=k₁x+b的解析式；
（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標；
（3）在y軸上求一點P使△POC為等腰三角形，請求出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法即可解決．
（2）分兩種情形討論，添加輔助線構造全等三角形即可求出點D坐標．
（3）分OP=OC、CP=CO、PC=PO三種情形研究即可．

解答 解：（1）∵正比例函數y=kx的圖象經過點C（3，4），
∴4=3k，
k=$\frac{4}{3}$，
∵一次函數y=k₁x+b的圖象經過A（-3，0），C（3，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數為y=$\frac{2}{3}x+2$．
（2）①當DA⊥AB時，作DM⊥x軸垂足為M，
∵∠DAM+∠BAO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DAM=∠ABO，
∵DA=AB，∠DMA=∠AOB，
∴△DAM≌△ABO，
∴DM=AO=3，AM=BO=2，
∴D（-5，3），
②當D′B⊥AB時，作D′N⊥y軸垂足為N，
同理得△D′BN≌△BAO
∴D′N=BO=2，BN=AO=3，
∴D′（-2，5）
∴D點坐標為（-5，3）或（-2，5）．
（3）當OP=OC時，OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
則P的坐標為（0，5）或（0，-5），
當CP=CO時，則P的坐標是（0，8），
當PO=PC時，作CK⊥y軸垂足為K，設P的坐標為，（0，t）
在Rt△PCK中，∵PC=t，PK=4-t，KC=3，
∴（4-t）²+3²=t²解得$t=\frac{25}{8}$
此時P的坐標是$（0，\frac{25}{8}）$
綜上可知P的坐標為（0，5）或（0，-5）或（0，8）或$（0，\frac{25}{8}）$．

點評 本題考查待定系數法求一次函數、全等三角形的判定和性質、勾股定理、添加輔助線構造全等三角形等知識，學會分類討論的數學思想是正確解題的關鍵．