Question

【題目】如圖.△ABC中,AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D. F,BE⊥DF交DF的延長線于點E,已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，則四邊形BCDE的面積是_____

Answer 1

【答案】2

【解析】

由AF=BF得到F為AB的中點，又DF垂直平分AC，得到D為AC的中點，可得出DF為三角形ABC的中位線，根據三角形中位線定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的長求出DF的長，由兩直線平行同旁內角互補得到∠C=90°，同時由DE與EB垂直，ED與DC垂直，根據垂直的定義得到兩個角都為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形BCDE為矩形，在直角三角形ADF中，利用銳角三角函數定義及特殊角的三角函數值，由∠A=30°，DF的長，求出AD的長，即為DC的長，由矩形的長BC于寬CD的乘積即可求出矩形BCED的面積．

∵AF=BF，即F為AB的中點，又DE垂直平分AC，即D為AC的中點，

∴DF為三角形ABC的中位線，

∴DE∥BC,DF=BC，

又∠ADF=90°，

∴∠C=∠ADF=90°，

又BE⊥DE，DE⊥AC，

∴∠CDE=∠E=90°，

∴四邊形BCDE為矩形，

∵BC=2,∴DF= BC=1，

在Rt△ADF中,∠A=30°，DF=1，

∴tan30°= ,即AD= ，

∴CD=AD=，

則矩形BCDE的面積S=CDBC=2.

故答案為：2