Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，的頂點、的坐標分別為、，頂點在軸的正半軸上，的高交線段于點，且.

（1）求線段的長；

（2）動點從點出發沿線段以每秒個單位長度的速度向終點運動，動點從點出發沿射線以每秒個單位長度的速度運動，、兩點同時出發，且點到達點處時、兩點同時停止運動，設點的運動時間為秒，的面積為，請用含的式子表示，直接寫出相應的的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，點是直線上的一點且，是否存在值，使以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等？若存在，請求出符合條件的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）當點Q在線段BO上時，0＜t＜；當點Q在線段BO的延長線上時，＜t＜5；（3）存在，當點F在線段AC的延長線上時，t=1；當點F在線段AC上時，t=．

【解析】

（1）易證∠OAC=∠CBD，即可證明△AED≌△BCD，可得AE=BC，即可解題；
（2）分類討論：①當點Q在線段BO上時，根據S=PEOQ即可解題；
②當點Q在線段BO的延長線上時，根據S=PEOQ即可解題；
（3）有兩種情況：①當點F在線段AC的延長線上時，用t分別表示PE，QC，根據PE=QC即可求得t的值，即可解題，
②當點F在線段AC上時（如圖4），點F與D重合，用t分別表示PE，QC，根據PE=QC即可求得t的值，即可解題．

解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE=∠BDC=90°，
∴∠CBD+∠ACB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠OAC+∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠CBD，
在△AED和△BCD中，

，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC，
∵B（-2，0），C（3，0）
∴BC=5，
∴AE=5．
（2）分類討論：①當點Q在線段BO上時，（如圖1）

S=PEOQ=t（2-4t）=-2t2+t，（0＜t＜）；
②當點Q在線段BO的延長線上時，（如圖2）

S=PEOQ=t（4t-2）=2t2-t，（＜t＜5）；
（3）有兩種情況：
①當點F在線段AC的延長線上時（如圖3）
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時CQ=5-4t，PE=t，
∴5-4t=t，
解得：t=1；
②當點F在線段AC上時（如圖4），點F與D重合，
可知∠BEP=∠FCQ，BE=CF，此時存在△PBE≌△QCF，
則PE=QC，

此時CQ=4t-5，PE=t，
∴4t-5=t，
解得：t=．

故答案為：（1）5；（2）當點Q在線段BO上時，0＜t＜；當點Q在線段BO的延長線上時，＜t＜5；（3）存在，當點F在線段AC的延長線上時，t=1；當點F在線段AC上時，t=．