Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x2＋x－2與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C.

（1）求證：△AOC∽△COB；

（2）過點C作CD∥x軸交拋物線于點D．若點P在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運動，同時點Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由D向C運動，則經過幾秒后，PQ＝AC.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）經過2.5秒或 1.5秒時，PQ＝AC.

【解析】試題分析：（1）可先根據拋物線的解析式求出A，B，C的坐標，然后看OA，OC，OB是否對應成比例即可；
（2）根據拋物線的對稱性可知：AC=BD，四邊形ABDC為等腰梯形，那么本題可分兩種情況進行求解：
①當四邊形APQC是等腰梯形，即四邊形PQDB是平行四邊形時，AC=PQ，那么QD=PB，可據此來求t的值．
②當四邊形ACQP是平行四邊形時，AC=PQ，那么此時AP=CQ，可據此求出t的值．

試題解析：（1）解：（1）當y=0時，即=0，得x1=1，x2=4 .當x=0時，y=－2.

∴ A（1，0），B（4，0），C（0，－2）.

∴OA=1，OB=4，OC=2 ，

∴， .

又∵∠AOC=∠BOC ∴△AOC∽△COB.

（2）設經過t秒后，PQ=AC．由題意得：AP=DQ= t

∵A（1，0）、B（4，0） ∴AB=3 ， ∴BP=3－t ‘

∵CD∥x軸，點C（0，－2） ∴點D的縱坐標為－2.

∵點D在拋物線y=上

∴D（5，－2） ∴CD=5 ∴CQ=5－t

① 當AP=CQ，即四邊形APQC是平行四邊形時， PQ=AC．

t=5－t ∴t=2.5.

② 連結BD，當DQ=BP，即四邊形PBDQ是平行四邊形時，

PQ=BD=AC.

t=3－t ∴t=1.5.

所以，經過2.5秒或 1.5秒時，PQ=AC.