Question

【題目】如圖，在中，，，，垂足為，點是邊上的一個動點，過點作交線段于點，作交于點，交線段于點，設．

（1）用含的代數式表示線段的長；

（2）設的面積為，求與之間的函數關系式，并寫出定義域；

（3）能否為直角三角形？如果能，求出的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），定義域為：；（3）當BP為或時，為直角三角形．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質可得BD=CD=3，通過證明△ABD∽△GBP，可得，即可得出DG的長度；

（2）根據相似三角形的性質可得，，根據三角形的面積公式即可表達出；

（3）分EF⊥PG，EF⊥PF兩種情況，根據相似三角形的性質即可求出BP的長度．

解：（1）∵，，，

∴BD=CD=3

在Rt△ABD中，，

∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，

∴△ABD∽△GBP

∴，

∴，

∴，

故

（2）∵PF∥AC

∴△BFP∽△BCA

∴

即

∴

∴，

∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，

∴∠DEG=∠ABD，∠ADG=∠ADB=90°，

∴△DEG∽△DBA

∴，

∴，

整理得：，

∴

定義域為：

（3）若EF⊥PG時，

∵EF⊥PG，ED⊥FG，

∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，

∴∠DEG=∠EFD，且∠EDF=∠EDG，

∴△EFD∽△GDE，

∴

∴，

∴，

整理得：，

解得：，（不合題意，舍去），

若EF⊥PF，

∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，

∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，

∴△EDF∽△CDA

∴

，

解得：，

綜上所述，當BP為或時，為直角三角形．