Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC的中點，連接DE.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若∠BAC＝30°，DE＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）9.

【解析】

試題（1）如圖，作輔助線；根據題意結合圖形，證明∠ODE=90°，即可解決問題．

（2）首先求出BC=6，進而求出BD的值；運用直角三角形的性質求出AD的值，即可解決問題．

試題解析：（1）連接OD、BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=∠CDB=90°；

又∵點E為BC的中點，

∴BE=DE，

∴∠BDE=∠EBD；

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，

∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；

∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，

又∵點D在⊙O上，

∴DE是圓⊙O的切線．

（2）解：由（1）知BC=2DE=6，

又∵∠CBD=∠BAC=30°，

∴CD=3，BD=3

∴AB=6；

由勾股定理得：AD=9．