Question

【題目】綜合與探究如圖，在正方形中，點在邊所在的直線上運動但不與點重合，點在線段．上運動，過點的直線，分別交于點．

觀察探究：（1）如圖1，當點在邊上時，判斷并說明與的數量關系；

探究發現：（2）勤奮小組在圖1的基礎上得到圖2，點為中點時，其他條件不變，連接正方形的對角線與交于點，連接，此時， ，請利用圖2證明；

探究拓展：（3）如圖3，縝密小組在勤奮小組的啟發下，當點在點右側時，如果（2）中的其他條件不變，直線分別交直線于點，他們發現線段與之間存在數量關系，線段與之間也存在數量關系，請你直接寫出．

Answer 1

【答案】（1）AE=MN，理由見解析；（2）見解析；（3）與的數量關系是：，與的數量關系是：

【解析】

（1）過點作交 于點，構建平行四邊形PMND，再證明△ABE≌△DAP，即可得出結論；
（2）連接AG、EG、CG，構建全等三角形和直角三角形，證明AG=EG=CG，再根據四邊形的內角和定理得∠AGE=90°，在Rt△ABE和Rt△AGE中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得BF=AE，FG=AE，則BF=FG；
（3）AE=MN,證明△AEB≌ONMQ; BF=FG，同理得出BF和FG分別是直角△AEB和直角△AGE斜邊.上的中線，則BF=AE，FG=AE，所以BF=FG．

解：（1）

理由如下：如答圖 1，過點作交 于點，則

四邊形是正方形，

四邊形是平行四邊形，

于

又

（2）如答圖 2，連接

由正方形的軸對稱性得：

于點，點為 中點，

由答圖 2 可知

又四邊形的內角和為

在和中，為斜邊，點 為的中點

（3）AE與MN的數量關系是：AE=MN,理由是：

如圖3，過C作CK∥MN交AB于K,

∴∠CKB=∠NMB=∠FMA

又∵正方形ABCD∴AB∥CD，AB=BC, ∠ABC=∠ABE=90°

∴四邊形CNMK是平行四邊形，∴CK=MN

∵MN⊥EF∴∠FMA+∠MAF=90°

∵∠BEA+∠MAF=90°

∴∠BEA=∠FMA=∠NMB=∠CKB

∴△CBK≌△ABE

∴AE=CK∴AE=MN

與的數量關系是：理由是：

連接CG、AG、EG，

由正方形的軸對稱性得：

于點，點為 中點，

在Rt△ABE中，∠AEB+∠EAB=90°,即∠BAE+∠GEA+∠GEB=90°

∴∠BAE+∠GEA+∠GAB=90°∴∠GEA+∠GAE=90°

∵∠GEA+∠GAE+∠EGA=180°

∴∠EGA=90°

在和中，為斜邊，點 為的中點