Question

【題目】如圖，在數軸．上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是個單位長度，長方形的長是個單位長度，長方形的長是個單位長度，點在數軸上表示的數是，且兩點之間的距離為．

點在數軸上表示的數是 ，點在數軸上表示的數是

若線段的中點為，線段上有一點以每秒個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為秒，問當為多少時，原點恰為線段的三等分點?

若線段的中點為，線段上有一點，長方形以每秒個單位長度的速度向右勻速運動，長方形保持不動，設運動時間為秒，是否存在一個的值，使以三點為頂點的三角形是直角三角形?若存在，求的值;不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在這樣的t，t的值為或．

【解析】

（1）根據已知條件得出點H在點E右邊個單位處，點A在點E左邊個單位處，再根據點E表示的數即可得出答案；

（2）根據條件算出點M、點N表示的數，然后再分OM=2ON和ON=2OM兩種情況，根據條件列出含有絕對值的方程求解即可；

（3）分、和三種情況討論，根據條件建立方程求解即可．

解：（1）∵點在數軸上表示的數是，，

∴，即點H在數軸上表示的數是，

∵，，

∴，

∴，即點A在數軸上表示的數是；

（2）由題意知，線段的中點為，則表示的數為，線段上有一點，且，則表示的數為，

∵以每秒個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒個單位長度的速度向左運動，

∴經過秒后，點表示的數為，點表示的數為，

①當時，則有，

解得（經檢驗，不符合題意，舍去）或，

②當時，則有，

解得（經檢驗，不符合題意，舍去），

綜上所述，當或時，原點恰為線段的三等分點；

（3）根據題意，因為點的位置不確定，所以應分類討論，有以下三種情況：

①當時，點與點重合，此時；

②當時，，

由題可得，，

，

，

，

，

解得；

③，

綜上所述，存在這樣的t，t的值為或．