Question

【題目】黃金三角形就是一個等腰三角形，且其底與腰的長度比為黃金比值．如圖1，在黃金中，，點是上的一動點，過點作交于點．

當點是線段的中點時， ；當點是線段的三等分點時， ；

把繞點逆時針旋轉到如圖2所示位置，連接，判斷的值是否變化，并給出證明；

把繞點在平面內自由旋轉，若請直接寫出線段的長的取值范圍．

Answer 1

【答案】，；不變，證明見解析；

【解析】

（1）根據黃金三角形的定義以及線段的比例關系即可求解；

（2）根據旋轉的性質，證明即可求解；

（3）當點E在BC上時，CE最短，此時；當點E在BC的延長線上時，CE最長，．

（1）∵在黃金中，，

當點是線段的中點時，；

當點是線段的三等分點時，；

故答案為：，；

（2）不變，證明如下：

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（3）∵

，，

當點E在BC上時，CE最短，此時；

當點E在BC的延長線上時，CE最長，此時；

∴線段的長的取值范圍是：．