Question

【題目】已知拋物線y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經過原點，頂點為A．

（1）若點A的坐標是（﹣2，﹣4），

①求拋物線的解析式；

②把拋物線在第三象限之間的部分圖象記為圖象G，若直線y＝﹣x+n與圖象G有兩個不同的交點，求n的取值范圍；

（2）若直線y2＝ax+b經過點A，當1＜x＜2時，比較y1與y2的大�。�

Answer 1

【答案】（1）①y1＝x2+4x；②﹣＜n＜﹣2；（2）當a＞0時，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；當a＜0時，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．

【解析】

（1）①設拋物線的解析式為：y1＝a（x+2）2﹣4，根據拋物線y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經過原點，得到0＝4a﹣4，于是得到結論；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，則x2+2x＝0，得到拋物線與x軸的交點為：（﹣2，0），（0，0）；解不等式得到n＞﹣，當直線y＝﹣x+n過點（﹣2，0），則n＝﹣2，于是得到結論；

（2）將函數y1的解析式配方，即可找出其頂點坐標，將頂點坐標代入函數y2的解析式中，即可得出a、b的關系，再根據ab≠0，用a表示出b，兩函數解析式做差，即可得出y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），根據x的取值范圍可得出（x﹣2）（x﹣1）＜0，分a＞0或a＜0兩種情況考慮，即可得出結論．

（1）①∵頂點A（﹣2，﹣4），

∴設拋物線的解析式為：y1＝a（x+2）2﹣4，

∵拋物線y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經過原點，

∴0＝4a﹣4，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為：y1＝x2+4x；

②在y1＝x2+2x中，令y1＝0，則x2+2x＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2，

∴拋物線與x軸的交點為：（﹣2，0），（0，0）；

解得，x2+3x﹣n＝0，

∵拋物線在第三象限之間的部分圖象記為圖象G，若直線y＝﹣x+n與圖象G有兩個不同的交點，

∴△＝9+4n＞0，

∴n＞﹣，

當直線y＝﹣x+n過點（﹣2，0），則n＝﹣2，

∴n的取值范圍為：﹣＜n＜﹣2；

（2）∵拋物線y1＝ax2+bx+c（ab≠0）經過原點，

∴y1＝ax2+bx＝a（x+）2﹣，

∴函數y1的頂點為（﹣，﹣），

∵函數y2的圖象經過y1的頂點，

∴﹣＝a（﹣）+b，即b＝﹣，

∵ab≠0，

∴﹣b＝2a，

∴b＝﹣2a，

∴y1＝ax2﹣2ax＝ax（x﹣2），y2＝ax﹣2a，

∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1）．

∵1＜x＜2，

∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，（x﹣2）（x﹣1）＜0．

當a＞0時，a（x﹣2）（x﹣1）＜0，y1＜y2；

當a＜0時，a（x﹣2）（x﹣1）＞0，y1＞y2．