Question

【題目】在中，，，．動點分別從點同時出發，點以每秒1個單位的速度沿勻速運動．點沿折線向終點勻速運動，在上的速度分別是每秒個單位、每秒2個單位．當點停止時，點也隨之停止運動．連按，將繞著點逆時針旋轉得到，連按，設點的運動時間為．

（1）用含的代數式表示的長．

（2）當點與的頂點重合時，求的長．

（3）設的面積為，求與之間的函數關系式．

（4）點出發后，當與的邊所夾的角被平分時，直按寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或1；（3）當時，；當時，；（4）或或

【解析】

（1）由直角三角形的性質得出AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，求出0＜t≤，得出PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2）由旋轉的性質得出△PQD是等邊三角形，①當點D與點C重合時，由等邊三角形的性質得出∠PCQ=60°，得出∠ACP=90°-∠PCQ=30°，求出∠APC=90°，由三角函數即可得出答案； ②當點D與點A重合時，由等邊三角形的性質得出此時點Q與點C重合，得出PQ=AC=1即可；

（3）分情況討論①當時，過點Q作QH⊥AB于H，則 求出得出由勾股定理得出即可得出答案；

②當 時，過點Q作QH⊥AB于H，則 得出由勾股定理得出即可得出答案；

（4）①當PQ平分∠DPB時；②當PQ平分∠DQB時；③當PQ平分DQC時；求出t的值即可．

解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=2，BC=ACtan60°=，

∵點P以每秒1個單位的速度沿A→B勻速運動，

∴點P到點B用的時間為：=2（秒），

∵點Q沿折線BC→CA向終點A勻速運動，

在BC、CA上的速度分別是每秒個單位，每秒2個單位，

∴點Q與點C重合時，用的時間為：=1（秒），

點Q從點C運動到點A用的時間為：（秒），

∵當點Q停止時，點P也隨之停止運動，

∴0＜t≤，

∴PB=AB-AP=2-t（0＜t≤）；

（2））∵將PQ繞著點P逆時針旋轉60°了得到PD，

∴△PQD是等邊三角形， 分情況討論：

①當點與點重合時

∵△PQD是等邊三角形， ∴∠PCQ=60°，

∴∠ACP=90°-∠PCQ=90°-60°=30°，

∵∠A=60°，

∴∠APC=180°-∠A-∠ACP=180°-60°-30°=90°，

∴PQ=PC=ACsin60°=

②當點D與點A重合時，如圖2所示：

∵△PQD是等邊三角形，∠A=60°，

∴此時點Q與點C重合，

∴PQ=AC=1；

綜上所述，當點D與△ABC的頂點重合時，PQ的長為或1；

（3）分情況討論：

①當時，過點Q作QH⊥AB于H，如圖3所示：

則QH=BQ=

BH=BQcos30°=

PH=PB-BH=

②當時，

過點Q作QH⊥AB于H，如圖4所示：

則AQ=

QH=AQsin60°=

∴PH=AP-AH=

∴

∴

（4））①當PQ平分∠DPB時，如圖5所示： 則∠QPB=∠DPQ=60°，

∴∠BQP=180°-∠QPB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴BQ=sin60°PB，即

解得：

②當PQ平分∠DQB時，如圖6所示： 則∠PQB=∠DPQ=60°，

∴∠BPQ=180°-∠PQB-∠B=180°-60°-30°=90°，

∴PB=sin60°BQ，即

解得：．

③當PQ平分∠DQC時，如圖7所示： 則點Q與點A重合，∠CAP=∠DAP=60°，

此時，

綜上所述，當△ABC與△PQD的邊所夾的角被PQ平分時，t的值為或或．