Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，、分別為軸、軸正半軸上的點，以、為邊，在一象限內作矩形，且．將矩形翻折，使點與原點重合，折痕為，點的對應點落在第四象限，過點的反比例函數，其圖象恰好過的中點，則點的坐標為________．

Answer 1

【答案】（，）．

【解析】

連接BO與MN交于點Q，過點Q作QG⊥x軸，垂足為G，可通過三角形全等證得BO與MN的交點就是MN的中點Q，由相似三角形的性質可得S△OGN= S△OCB，根據反比例函數比例系數的幾何意義可求出k，從而求出S△OAM，進而可以得到AB=4AM，即BM=3AM．由軸對稱的性質可得OM=BM，從而得到OM=3AM，也就有AO=2AM，根據△OAM的面積可以求出AM，OA的值．易證四邊形OAEH為矩形，從而得到MH=OA，就可求出MH的值，問題得解．

解：連接BO與MN交于點Q，過點Q作QG⊥x軸，垂足為G，如圖所示，

∵矩形OABC沿MN翻折，點B與點O重合，

∴BQ=OQ，BM=MO．

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB∥CO，∠BCO=∠OAB=90°．

∴∠MBQ=∠NOQ．

在△BMQ和△ONQ中， ．

∴△BMQ≌△ONQ（ASA）．

∴MQ=NQ．

∴點Q是MN的中點．

∵∠QGO=∠BCO=90°，

∴QG∥BC．

∴△OGQ∽△OCB．

∴．

∵S矩形OABC= ，

∴S△OCB=S△OAB=．

∴．

∵點Q在反比例函數y=上，

∴，解得：．

∴S△OAM= ．

∵S△OAB= ，

∴AB=4AM．

∴BM=3AM．

由軸對稱的性質可得：OM=BM．

∴OM=3AM．OA=

∴S△OAM=AOAM=×2AM×AM=．

解得：AM=．

∴OA=2×= ．

∴M點坐標為（，）．

故答案為：（，）．