Question

【題目】如圖，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點P放在射線OM上，兩直角邊分別與OA，OB交于點C，D．

（1）證明：PC=PD．

（2）若OP=4，求OC+OD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）過點P點作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據垂直的定義得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分線，根據角平分線的性質得到PE=PF，利用四邊形內角和定理可得到∠PCE+∠PDO=360°﹣90°﹣90°=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，則∠PCE=∠PDF，然后根據“AAS”可判斷△PCE≌△PDF，根據全等的性質即可得到PC=PD．

（2）由∠AOB=90°，OM平分∠AOB，得到△POE與△POF為等腰直角三角形，根據等腰三角形的性質有OE=PE=PF=OF，即可得到OE的長．由（1）知△PCE≌△PDF，由全等三角形對應邊相等得到CE=DF，進而得到OC+OD=OE+OF=2OE，即可得出結論．

（1）如圖，過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠PEC=∠PFD=90°．

∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF．

∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，

∴∠PCE＋∠PDO=360°－90°－90°=180°．

而∠PDO＋∠PDF=180°，

∴∠PCE=∠PDF．

在△PCE和△PDF中，∵∠PCE=∠PDF，∠PEC=∠PFD，PE=PF，

∴△PCE≌△PDF（AAS）

∴PC=PD．

（2）∵∠AOB=90°，OM平分∠AOB，

∴△POE與△POF為等腰直角三角形，

∴OE=PE=PF=OF．

∵OP=4，

∴OE=．

由（1）知△PCE≌△PDF，∴CE=DF，

∴OC+OD=OE+OF=2OE=．