Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為【 】

　A．1 B． C． 2 D．＋1

Answer 1

【答案】B。

【解析】分兩步

（1）若點P，Q固定，此時點K的位置：如圖，作點P關于BD的對稱點P1，連接P1Q，交BD于點K1。

由線段中垂線上的點到線段兩端距離相等的性質，得

P1K1 = P K1，P1K=PK。

由三角形兩邊之和大于第三邊的性質，得P1K＋QK＞P1Q= P1K1＋Q K1= P K1＋Q K1。

∴此時的K1就是使PK+QK最小的位置。

（2）點P，Q變動，根據菱形的性質，點P關于BD的對稱點P1在AB上，即不論點P在BC上任一點，點P1總在AB上。

因此，根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質，得，當P1Q⊥AB時P1Q最短。

過點A作AQ1⊥DC于點Q1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q1=30°。

又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=。

綜上所述，PK+QK的最小值為。故選B。