Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A、D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=2，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【考點】切線的判定與性質；勾股定理；扇形面積的計算；作圖—復雜作圖．

【分析】（1）根據題意得：O點應該是AD垂直平分線與AB的交點；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；

（2）設⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關于r的方程，通過解方程即可求得r的值；然后根據扇形面積公式和三角形面積的計算可以求得“線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π”．

【解答】解：（1）如圖：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

即直線BC與⊙O的切線，

∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；

 

（2）設⊙O的半徑為r，則OB=6﹣r，又BD=2，

在Rt△OBD中，

OD²+BD²=OB²，

即r²+（2）²=（6﹣r）²，

解得r=2，OB=6﹣r=4，

∴∠DOB=60°，

∴S_扇形ODE==π，

S_△ODB=OD•BD=×2×2=2，

∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S_△ODB﹣S_扇形ODE=2﹣π．

【點評】此題考查了切線的判定與性質以及扇形面積與三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．