Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，E是CD邊上的中點，P是BC邊上的一點，且BP＝2CP，連接EP并延長交AB的延長線于點F．

（1）求BF；

（2）判斷EB是否平分∠AEC，并說明理由；

（3）連接AP，不添加輔助線，試證明△AEP≌△FBP，直接寫出一種經過兩次變換的方法使得△AEP與△FBP重合．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）EB平分∠AEC，理由見解析（3）①將△BPF繞點P順時針旋轉120°和△EPA重合，再沿PE折疊；②將△BPF以過點P垂直于BC的直線折疊，再繞點P逆時針旋轉60°．

【解析】

（1）求出DE，CE，即可得出結論；

（2）用銳角三角函數求出∠AED＝60°，得出∠BEC＝∠AED＝60°，即可得出結論；

（3）先判斷出△AEP≌△FBP（AAS），即可得出結論．

解：（1）∵CE∥BF，

∴，

在Rt△ADE中，

∴DE＝＝＝1，

∴CE＝1，

∴BF＝2；

（2）EB平分∠AEC，理由如下：

在Rt△ADE中，AD＝，DE＝1，

∴tan∠AED＝＝，

∴∠AED＝60°，

∴∠BEC＝∠AED＝60°，

∴∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠BEC＝60°＝∠BEC，

∴EB平分∠AEC；

（3）∵BP＝2CP，BC＝，

∴CP＝，BP＝，

在Rt△CEP中，tan∠CEP＝，

∴∠CEP＝30°，

∴∠BEP＝30°，

∴∠AEP＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠F＝∠CEP＝30°，

在Rt△ABP中，tan∠BAP＝，

∴∠PAB＝30°，

∴∠EAP＝30°＝∠F＝∠PAB，

∵CB⊥AF，

∴AP＝FP，∠FBP＝90°＝∠AEP，

在△AEP和△FBP中， ，

∴△AEP≌△FBP（AAS），

變換的方法為：①將△BPF繞點P順時針旋轉120°和△EPA重合，再沿PE折疊；

②將△BPF以過點P垂直于BC的直線折疊，再繞點P逆時針旋轉60°．