Question

【題目】和都是等腰直角三角形，．

（1）如圖1，點、分別在、上，則、滿足怎樣的數量關系和位置關系？（直接寫出答案）

（2）如圖2，點在內部，點在外部，連結、，則、滿足怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由．

（3）如圖3，點、都在外部，連結、、、，與相交于點．已知，，設，，求與之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，BD⊥CE；（2）BD=CE，BD⊥CE；證明見解析；（3）y=40-x．

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質解答；

（2）延長BD，分別交AC、CE于F、G，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質、垂直的定義解答；

（3）先證明∠BAD=∠CAE，再證明△ABD≌△ACE，可得∠BHC =90°，最后利用勾股定理計算即可．

（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，

∴BD=CE，BD⊥CE；

（2）BD=CE，BD⊥CE，

理由如下：延長BD，分別交AC、CE于F、G，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC

∴∠BAD=∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠AFB=∠GFC，

∴∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE；

（3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

∵∠AOB=∠HOC，

∴∠BHC=∠BAC=90°，

∴CD2+EB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE

∵，

∴BC2=32，DE2=8

∵，

∴x+y=32+8

∴y=40-x．