Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于．

（1）求函數表達式；

（2）點是線段中點，點是上方拋物線上一動點，連接，．當的面積最大時，過點作軸垂線，垂足為，點為線段上一動點，將繞點順時針方向旋轉90°，點，，的對應點分別是，，，點從點出發，先沿適當的路徑運動到點處，再沿運動到點處，最后沿適當的路徑運動到點處停止．求面積的最大值及點經過的最短路徑的長；

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大面積為；點Q運動最短路徑為

【解析】

（1）根據題意可設二次函數頂點式，再用待定系數法求解即可.

（2）觀察圖形發現本身的面積不易表示，由條件點是線段中點想到三角形的中線將其面積分為相等的兩部分，所以將求面積最大值轉化為求 的面積最大值，方法可過作軸的垂線，交于點，通過二次函數解析式與直線的解析式分別設出點與點的坐標，再表示出的面積轉化為新的二次函數求最值；

求點經過的最短路徑，先要確定點的位置，可作點關于的對稱點，連接交于一點，該點即為點運動路徑最短時的點，原因是此時與共線，最后根據點的坐標求出線段長度即可.

因為拋物線與軸交于，兩點，

可設函數解析式為：，

根據題意得：

解得：

∴解析式為：；

（2）∵點是線段中點

∴

∴當面積最大時，的面積最大；

過作軸的垂線，交于點，

易得直線的直線方程為：

設，

∴

當時，有最大面積，最大面積為

∴，，

作點關于的對稱點，

連接交于一點，該點即為點運動路徑最短時的點，

因為， ，所以

根據旋轉的性質，，所以

因為與關于對稱，所以

∴在中，

∴點運動最短路徑為.