Question

12．已知，ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點，若E在直線AC上任意一點，DF⊥DE，交直線BC于F點，G為EF的中點，延長CG與AB交于點H．
（1）若E在邊AC上．①試說明DE=DF；②試說明CG=GH；
（2）若AE=6，CH=10，求邊AC的長．

Answer 1

分析 （1）①連接CD，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CD=AD=BD，CD⊥AB，證出∠EDA=∠CDF，由ASA證明△ADE≌△CDF，即可得出結論；
②連接CD、DG，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CG=EG=FG，DG=EG=FG，得出CG=DG，因此∠GCD=∠GDC，由角的互余關系得出∠GHD=∠HDG，證出GH=GD，即可得出結論；
（2）分兩種情況：①當E在線段AC上時，CG=GH=EG=GF，得出CH=EF=10，由（1）得出AE=CF=6，由勾股定理得出CE，即可得出結論；
②當E在線段CA延長線上時，AC=EC-AE=8-6=2；即可得出結果．

解答 （1）①證明：連接CD，如圖1所示：
∵∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點，
∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCF=∠DAE}\\{CD=AD}\\{∠CDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；
②證明：連接DG，如圖2所示：
∵∠ACB=90°，G為EF的中點，
∴CG=EG=FG，
∵∠EDF=90°，G為EF的中點，
∴DG=EG=FG，
∴CG=DG，
∴∠GCD=∠GDC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDH=90°，
∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，
∴∠GHD=∠HDG，
∴GH=GD，
∴CG=GH；
（2）解：分兩種情況：
①當E在線段AC上時，CG=GH=EG=GF，
∴CH=EF=10，
由（1）①知：△ADE≌△CDF，
∴AE=CF=6，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：
CE=$\sqrt{E{F}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴AC=AE+EC=6+8=14；
②當E在線段CA延長線上時，如圖3所示：
AC=EC-AE=8-6=2，
綜上所述，AC=14或2．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、勾股定理、等腰三角形的判定等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．