Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝90°，對角線AC、BD相交于點O．

（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

（2）若P是對角線BD上任意一點，連接PA，PA繞點P逆時針旋轉90°得到PE，連接AE、BE．

①根據題意畫圖，判斷B、C、E三點是否共線，并說明理由；

②當BD＝8，△PBE的面積等于時，求PB的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①B、C、E三點共線，見解析；②PB為1或3或

【解析】

（1）根據正方形的判定定理證明；

（2）①根據題意畫出圖形；根據旋轉的性質得到△APE為等腰直角三角形，根據正方形的性質得到△AOB為等腰直角三角形，證明△AOP∽△ABE，根據相似三角形的性質得到∠ABE=90°，得到答案；

②根據題意求出OB，根據相似三角形的性質得到BE=（4-PB），求出PH，根據三角形的面積公式列式計算．

解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD，

∴四邊形ABCD是菱形；

∵∠BAD＝90°，

∴四邊形ABCD是正方形；

（2）①如圖，就是所畫的圖形 （圖②或圖③）結論：B、C、E三點共線.

理由：由畫圖得，PA＝PE，PA⊥PE，

∴∠PAE＝∠PEA＝45°，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA＝OB

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠PAE＝∠OAB，∠PEA＝∠OBA，

∴△PAE∽△OAB，

∴，

∵∠PAE＝∠OAB，

∴∠PAO＝∠EAB，

∴△PAO∽△EAB

∴∠POA＝∠EBA＝90°，

∴AB⊥BE，

∵∠ABC＝90°，

∴AB⊥BC，

∴B、C、E三點共線；

②分兩種情況討論：

當點P在線段OD上時，作PF⊥BC，如圖④，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∵AC＝BD＝8

∴AO＝B0＝4，AB＝

設PB＝x，則PO＝ x－4，

由①得△PAO∽△EAB，

∴，

∴

∴

由（1）得四邊形ABCD是正方形，且PF⊥BC，

得△PBF為等腰直角三角形，

∴PF＝

∴S＝（4≤x≤8），

解得，（舍去）；

當點P在線段BO上時，作PE⊥BD，如圖⑤，

由（1）得四邊形ABCD是正方形，

∵AC＝BD＝8

∴AO＝B0＝4，AB＝

設PB＝x，則PO＝4－x，

由①得△PAO∽△EAB，

∴，

∴

∴

由（1）得四邊形ABCD是正方形，且PF⊥BC，

得△PBF為等腰直角三角形，

∴PF＝

∴S＝（0≤x＜4），

解得，；

綜上所述，當PB為1或3或時，△PBE的面積等于．