Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，點在原點的左則，點的坐標為，與軸交于點，點是直線下方的拋物線上一動點．

求這個二次函數的表達式；

求出四邊形的面積最大時的點坐標和四邊形的最大面積；

連結、，在同一平面內把沿軸翻折，得到四邊形，是否存在點，使四邊形為菱形？若存在，請求出此時點的坐標；若不存在，請說明理由；

在直線找一點，使得為等腰三角形，請直接寫出點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，四邊形的面積取最大值，最大值為；（3）存在點，使四邊形為菱形；（4）點坐標為、、或．

【解析】

（1）直接代入B、C兩點坐標即可求解解析式；

（2）過作軸，交于，設，求解直線BC解析式為，則可得，觀察圖形，利用即可求解；

（3）取的中點，過作的垂線交拋物線于，在的延長線上取，連接、，所得四邊形即為菱形；

（4）設點的坐標為，則利用已知點C和O，寫出用m表示的OC、PC、PO的表達式，再分別按、和三種情況進行討論，分別求解m的值即可.

解：將點、代入中，

得：，解得：，

∴該二次函數的表達式為．

∵點，點，

∴直線．

過作軸，交于，如圖所示．

設，則點，

當時，，

解得：，，

∴點．

則，

，

，

，

∵，，

∴當時，四邊形的面積取最大值，最大值為．

取的中點，過作的垂線交拋物線于，在的延長線上取，連接、，如圖所示．

∵，，，

∴四邊形為菱形．

當，則有，

解得：（舍去），，

∴存在點，使四邊形為菱形．

設點的坐標為，

∵，，

∴，，．

為等腰三角形分三種情況：

①當時，，

解得：，

此時點的坐標為或；

②當時，，

解得：或（舍去），

此時點的坐標為；

③當時，有，

解得：，

此時點的坐標為．

綜上可知：點坐標為、、或．