Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線行經過點和點，交軸正半軸于點，連接，點是線段上動點(不與點重合)，以為邊在軸上方作正方形，接，將線段繞點逆時針旋轉90°，得到線段，過點作軸，交拋物線于點，設點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若與相似求的值；

（3）當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2+3x+4；（2）a＝或；（3）點P的坐標為(1，4)或(2，4)或(，4)

【解析】

（1）點C（0，4），則c=4，二次函數表達式為：y=-x2+bx+4，將點A的坐標代入上式，即可求解；
（2）△AOC與△FEB相似，則∠FBE=∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB=或4，即可求解；
（3）證明△PNF≌△BEF（AAS），PH=2，則-4a2+6a+4-4=|2|，即可求解．

解：(1)將點A和點C的坐標代入上式得：0＝－1－b+4，

解得：b＝3，

故拋物線的表達式為：y＝－x2+3x+4；

(2)∵tan∠ACO＝＝，

△AOC與△FEB相似，則∠FBE＝∠ACO或∠CAO，

∴tan∠FBE＝或4，

∵四邊形OEFG為正方形，則FE＝OE＝a，EB＝4－a，

則或，

解得：a＝或；

(3)令y＝－x2+3x+4＝0，解得：x＝4或－1，故點B(4，0)；

分別延長GF、HP交于點N，

∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，

∴∠FPN＝∠NFB，

∵GN∥x軸，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，

∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，

∴△PNF≌△BEF(AAS)，

∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4－a，

∴點P(2a，4)，點H(2a，－4a2+6a+4)，

∵PH＝2，

即：－4a2+6a+4－4＝±2，

解得：a＝1或或或(舍去)，

故：點P的坐標為(1，4)或(2，4)或(，4)．