Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，拋物線經過、、三點，連接、、，線段交軸于點，已知實數、分別是方程的兩根.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點為線段上的一個動點（不與點、重合），直線與拋物線交于、兩點（點在軸右側），連接、.

①求面積的最大值，并寫出此時點的坐標；②當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；（2）①△OBD面積最大值為，此時點D（）；②點P（）或（）或（）

【解析】

（1）解方程即可求得A和B的坐標，代入即可求得拋物線的解析式；

（2）①過D作DG⊥x軸于G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于H，用d表示D點和Q點的坐標，根據，可得S和d的關系式，進而可得的最大值以及此時點D的坐標；②求出直線AB的解析式，即可得OC的長度，設點P（p,-p）對△OPC為等腰三角形的情況分類討論：（1）OP=OC；（2）OP=PC，；（3）OC=PC，分別根據兩點間距離公式以及線段垂直平分線的性質求出p的值即可求得點P的坐標.

解：（1）∵

∴

又m<n

∴m=-1，n=3

又∵拋物線過點O（0,0）

所以將A（-1，-1），B（3，-3）代入拋物線解析式中，

可得

解得

∴拋物線的解析式為：.

（2）①如下圖所示，過D作DG⊥x軸于G，交OB于點Q，過點B作BH⊥x軸于H，

設點D（d，），

易得直線OB的解析式為：y=-x

∴Q（d,-d）

∴

=

=

=

=

=

∴當時，取最大值，最大值為，此時D（）

故△OBD面積最大值為，此時點D（）.

②設直線AB的解析式為：y=kx+b，將點A（-1，-1），B（3，-3）代入得：

，解得

∴直線AB的解析式為：

令x=0得：y=

∴OC=

同理可知直線OB的解析式為：y=-x

∴設點P（p,-p）且p>0

根據兩點間距離公式對△OPC為等腰三角形的情況分類討論：

（1）OP=OC，∴OP=

∴p=（舍去）或p=

∴點P（）

（2）OP=PC，∴P在線段OC中垂線上

∴P的縱坐標為

又點P在OB上

∴P（）

（3）OC=PC，∴PC=

解得：p=0（舍去）或p=

∴點P（）

綜上所述：點P（）或（）或（）.