Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是3，BP＝CQ，連接AQ、DP交于點O，并分別與邊CD、BC交于點F、E，連接AE，下列結論：①AQ⊥DP；②OA2＝OEOP；③S△AOD＜S四邊形OECF；④當BP＝1時，tan∠OAE＝，其中正確結論的是_____．（請將正確結論的序號填寫在橫線上）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

由四邊形ABCD是正方形可得 AD＝BC、∠DAB＝∠ABC＝90°，再根據全等三角形的性質可得∠P＝∠Q，最后根據余角的性質可得AQ⊥DP；故①正確；根據相似三角形的性質可得AO2＝ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②錯誤；根據全等三角形的性質得到CF=BE，DF=CE，則S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四邊形OECF；故③錯誤；根據相似三角形的性質可得BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，最后由三角函數的定義即可得到結論．

解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∵BP＝CQ，

∴AP＝BQ，

在△DAP與△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ（SAS），

∴∠P＝∠Q，

∵∠Q+∠QAB＝90°，

∴∠P+∠QAB＝90°，

∴∠AOP＝90°，

∴AQ⊥DP，故①正確；

②∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠DAO＝∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2＝ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②錯誤；

③在△CQF與△BPE中

，

∴△CQF≌△BPE（ASA），

∴CF＝BE，

∴DF＝CE，

在△ADF與△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四邊形OECF；故③錯誤；

④∵BP＝1，AB＝3，

∴AP＝4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE＝，

∴QE＝，

∵△QOE∽△PAD，

∴＝，

∴QO＝，OE＝，

∴AO＝5﹣QO＝，

∴tan∠OAE＝，故④正確，

故答案為：①④．