Question

2．如圖，等邊△ABC和等腰Rt△DEF均內接于⊙O，∠D=Rt∠，EF∥AC，AC分別交DE、DF于點P、Q，EF分別交AB、BC于點G、H，則$\frac{PQ}{GH}$的值是（　�。�

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 連接OD，OB，OD與AC交于K，根據等腰直角三角形，得到OD⊥EF，根據平行線的性質得到OD⊥AC，推出B，O，K，D四點共線，于是得到OB=OD=2OK=2DK，求得BG=GH=$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，PQ=2DK=OB，即可得到結論．

解答 解：連接OD，OB，OD與AC交于K，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴OD⊥EF，
∵EF∥AC，
∴OD⊥AC，
∵等邊△ABC內接于⊙O，
∴B，O，K，D四點共線，
∴OB=OD=2OK=2DK，
∵△ABC是等邊三角形，GH∥AC，
∴△BHG是等邊三角形，
∴∠BGO=60°，
∴BG=GH=$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，
∵△DEF是等腰直角三角形，PQ∥EF，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PQ=2DK=OB，
∴$\frac{PQ}{GH}$=$\frac{OB}{\frac{2\sqrt{3}}{3}OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故選C．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質，等腰直角三角形的性質，證得B，O，K，D四點共線是解題的關鍵．